Question

已知P、Q是椭圆上关于原点对称的两点，M是该椭圆上任意一点，且直线MP、MQ的斜率分别为k₁、k₂，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先设出P，M，N的坐标，把它们代入椭圆方程，方程相减可分别表示出PM和PN的斜率，二者相乘等于同时把x₁=-x₂，y₁=-y₂代入解求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
解答：解：设p（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把它们代入椭圆方程得
①，②.
②-①得PM的斜率k₁==，
同理PN的斜率k₂==，k₁•k₂==，
M、N是椭圆上关于原点对称的两点，x₁=-x₂，y₁=-y₂．
∴=，即a²=3b²，
∴c²=a²-b²=a²，
∴e==．
故选C
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．当直线与椭圆相交时，涉及弦长中点时，或直线的斜率时都可采用点差法，设出点代入椭圆方程，然后相减，与直线的斜率和弦的中点相联系．