Question

如图，货轮每小时30

2

海里的速度向正东方航行，快艇按固定方向匀速直线航行，当货轮位于A₁处时，快艇位于货轮的东偏南105°方向的B₁处，此时两船相距30海里，当货轮航行30分钟到达A₂处时，快艇航行到货轮的东偏南45°方向的B₂处，此时两船相距15(

3

-1)海里．问快艇每小时航行多少海里？

Answer 1

分析：连接A₂B₁，确定两船的位置关系，在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，求出B₁A₂的长度，利用正弦定理求出∠A₁A₂B₁，然后求出两船相遇的距离B₁B₂，然后求出快艇的速度．

解答：解：如图，连接A₂B₁，根据题意，有：
A₁B₁=30海里，A₁A₁=30

2

×

30

60

=15

2

海里，∠B₁A₁A₂=105°
∵cos105°=cos（45°+60°）
=cos45°cos60°-sin45°sin60°
=

2 (1- 3 )

4

=

2 - 6

4

，
sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=

2 (1+ 3 )

4

，
在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，
B1

A

2 2

=B1

A

2 1

+A1

A

2 2

-2B1

A

1

•A1

A

2

cos105°=302+(15

2

)2-2×30×15

2

×(

2 - 6

4

)=152(4+2

3

)
∴B1A2=15(1+

3

)，
由正弦定理
sin∠A1A2B1=

A1B1•sin∠A2A1B1

B1A2

=

30•sin105°

15(1+ 3 )

=

2

2

∴∠A₁A₂B₁=45°
又∵∠B₂A₂C=45°，
∴∠B₁A₂B₂=90°
在Rt△B₁A₂B₂中，B₁B₂²=B₁A₂²+A₁B₂²=15²×8
∴B1

B

2

=30

2

快铤的速度大小为

30 2

30

×60=60

2

（海里/小时）．

点评：本题是中档题，考查解三角形正弦定理、余弦定理的应用，考查实际问题中方位角与距离之间的关系，考查计算能力，转化思想．