Question

设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是(   )

A.f(k+1)=f(k)+k+1

B.f(k+1)=f(k)+k-1

C.f(k+1)=f(k)+k

D.f(k+1)=f(k)+k+2

Answer 1

解析：假设n=k(k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数为f(k).当n=k+1时，任取其中1条直线，记为l,由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点的个数为f(k).另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).

答案：C