Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-

a

e

，0）（0，a）．由题设知点M的坐标是（-c，

b2

a

）．由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．从而解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有

1

2

|PF₁|=c．由题设知当λ=

2

3

时，△PF₁F2为等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-

a

e

，0）（0，a）．
由

y=ex+a x2 a2 + y2 b2 =1

得

x=-c y= b2 a

．这里c=

a2+b2

．
所以点M的坐标是（-c，

b2

a

）．由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．
即

a e -c=λ a e b2 a =λa

．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，
由

1

2

|PF₁|═d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c，
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，于是λ=1-e²=

2

3

．
即当λ=

2

3

时，△PF₁F2为等腰三角形．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．