Question

某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足P(x)=1+

k

x

(k为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：

x（天）	10	20	25	30
Q（x）（件）	110	120	125	120

已知第10天的日销售收入为121（百元）．
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）=ax+b，②Q（x）=a|x-25|+b，③Q（x）=a•b^x，④Q（x）=a•log_bx．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该服装的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用f（10）=P（10）•Q（10），可求k的值；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，从表中任意取两组值代入可求得结论；
（3）求出函数f（x）的解析式，分段求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）依题意有：f（10）=P（10）•Q（10），
即(1+

k

10

)×110=121，所以k=1．                    …（2分）
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
故只能选②Q（x）=a|x-25|+b．…（4分）
从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|．                   …（6分）
（3）∵Q(x)=125-|x-25|=

100+x，(1≤x＜25) 150-x．(25≤x≤30)

，
∴f(x)=

x+ 100 x +101，(1≤x＜25) 150 x -x+149．(25≤x≤30)

．                   …（8分）
①当1≤x＜25时，x+

100

x

在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，
所以，当x=10时，f（x）_min=121（百元）．             …（10分）
②当25≤x≤30时，

150

x

-x为减函数，
所以，当x=30时，f（x）_min=124（百元）．             …（11分）
综上所述：当x=10时，f（x）_min=121（百元）．         …（12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查函数的最值，属于中档题．