Question

【题目】设函数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在和处有两个极值点，其中，.

（i）求实数的取值范围；

（ii）若（e为自然对数的底数），求的最大值.

Answer 1

【答案】；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）（i）求得，从而可知方程在上有两个不等的实根，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围；

（ii）由题知、是两个极值点，结合韦达定理，得到关于、的关系式，再用换元，构造关于的函数，求出函数的最大值．

（1）若，，，则，，

此时，函数在处的切线方程为，即；

（2）（i），，

由题意可知，关于的方程在上有两个不等的实根，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是；

（ii）由（i）得，，

，

令，则，令，其中.

，

所以，函数在上单调递减，.

因此，当时，的最大值为.