题目内容

3．辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天41036
市场价y元905190
已知辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系是f（x）=ax2+bx+c．
（1）求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（2）若对任意实数k，关于x的方程f（x）=kx+2m+120在实数集上恒有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

分析 （1）由已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，代入f（x）=ax2+bx+c，构造方程组，解方程组求出参数，可得函数的解析式，进而结合二次函数的图象和性质得到辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（2）若方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则对应的△＞0，由此构造关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围．

解答 解：（1）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=90}\\{100a+10b+c=51}\\{a•3{6}^{2}+36b+c=90}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{1}{4}$，b=-10，c=126
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x2-10x+126=$\frac{1}{4}$（x-20）2+26
∴当x=20时，y有最小值，ymin=26．
故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元…（6分）
（2）f（x）=$\frac{1}{4}$x2-10x+126，
又∵f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的实根，
则$\frac{1}{4}$x2-（k+10）x+6-2m=0恒有两个相异的实根，
∴△1=[-（k+10）]2-$4×\frac{1}{4}×（6-2m）$＞0恒成立，即k2+20k+2m+94＞0对k∈R恒成立，
∴△2=202-4（2m+94）＜0，解得m＞3．
故m的取值范围为（3，+∞）．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的零点，方程根的存在性及个数的判断，难度中档．

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