题目内容
函数f(x)=log9(x+8-
)在［1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
思路分析：由函数f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函数可以得到两个信息:
①对任意的1≤x1＜x2,总有f(x1)＜f(x2);
②当x≥1时,x+8-
＞0恒成立.
解:∵函数f(x)=log9(x+8-
)在［1,+∞)上是增函数,
∴对任意的1≤x1＜x2,有f(x1)＜f(x2),
即log9(x1+8-
)＜log9(x2+8-
)得x1+8-
＜x2+8-
,即(x1-x2)(1+
)＜0,
∵x1-x2＜0,∴1+
＞0,
＞-1,a＞-x1x2.
∵x2＞x1≥1,∴要使a＞-x1x2恒成立,只要a≥-1.
又∵函数f(x)=log9(x+8-
)在［1,+∞)上是增函数,
∴1+8-a＞0,即a＜9.
综上a的取值范围为［-1,9).
另解:(用导数求解)令g(x)=x+8-
,
∵函数f(x)=log9(x+8-
)在［1,+∞)上是增函数,
∴g(x)=x+8-
在［1,+∞)上是增函数,g′(x)=1+
.
∴1+8-a＞0且1+
≥0在［1,+∞)上恒成立,得-1≤a＜9.
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