Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＜0时，试求方程f（x）=0根的个数．

Answer 1

分析：先对函数求导可得f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）当a=-2时，f′（x）=-6（x+1）（x-1），分析导数的符号变化以确定函数的单调性的改变，从而可求函数的单调区间及极值
（2）当a＜0时，可得f′(x)=3a(x-

2

a

)(x-1)从而可求函数f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）递减；在(

2

a

，1)递增，结合函数值的符号及函数的单调性判断函数的f（x）零点个数．

解答：解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）当a=-2时，f′（x）=-6（x+1）（x-1）
令f′（x）=0得x₁=1x₂=-1

	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小值	增	极大值	减

∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递增区间为（-1，1）
f（x）_极小值=-7f（x）_极大值=1（6分）
（2）当a＜0时，f′(x)=3a(x-

2

a

)(x-1)∴f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）递减；在(

2

a

，1)递增，（9分）
又∵f(1)=-

1

2

a＞0，f(

2

a

)=-

1

a2

(3a2-6a+4)＜0（11分）∴f（x）有三个零点．
∴当a＜0时，f（x）有三个零点．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及求解函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．