Question

14．f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（x+π）cos（x+3π）
（1）求函数f（x）的单调增区间及对称轴方程；
（2）若△ABC的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，若三边成等比数列，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数f（x）的单调增区间，由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得对称轴方程；
（2）由题意可得b²=ac，由余弦定理和基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，结合三角形内角范围可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，可得三角函数的范围．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（x+π）cos（x+3π）
=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+（-sinx）（-cosx）=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z），
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，
∴对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理和基本不等式可得b²=ac=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
解不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，结合三角形内角范围可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2x+$\frac{π}{3}$≤π，∴0≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，∴0≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤2，
∴f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{3}$）的取值范围为[0，2]

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和对称性以及余弦定理和基本不等式，属中档题．