Question

【题目】已知函数.

（1）证明：当时，有最小值，无最大值；

（2）若在区间上方程恰有一个实数根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）当，求，进而求出单调区间，极小值，即可证明结论；

（2）分离参数转化为，令，求与只有一个交点时，的范围，通过求导求出在单调区间，作出图象，数形结合即可求解.

（1）当时，，

当恒成立，

当，单调递增，，

所以存在的，使得，

在单调递减，在单调递增，

当时，取得极小值，也是最小值，

当时，，

所以有最小值，无最大值；

（2）方程恰有一实根，

恰有一实根，

与恰有一个公共点，

，

令或，

当时，，

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，即极大值为，

极小值为，

做出在上的图象，如下图所示，

又与恰有一个公共点，

的取值范围是.