Question

(21)设p>0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

Answer 1

(21) 解法一: 由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为ky=x－2p.

又设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),则其坐标满足

消去x，得y²－2pky－4p²=0.

由此得

因此·=x_Ax_B+y_Ay_B=0,即OA⊥OB.

故O必在圆H的圆周上.

又由题意,圆心H(x_H,y_H)是AB的中点，

故

由前已证，OH应是圆H的半径 ，且

|OH|==.

从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小，

此时直线AB的方程为x=2p.

解法二: 由题意，直线AB不会是水平线，

故可设直线方程为ky=x－2p.

又设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)，则其坐标满足

分别消去x、y,得

故得A、B所在圆的方程

x²+y²－2p(k²+2)x－2pky=0.

明显地，O(0，0)满足上面方程.

故A、B、O三点均在上面方程所表示的圆上.

又知A、B中点H的坐标为(,)=((2+k²)p,kp),

故|OH|=.

而前面圆的方程可表示为

［x－(2+k²)p］²+(y－pk)²=(2+k²)²p²+k²p²,

故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0),又R²=|OH|²=(k⁴+5k²+4)p²,故当k=0时,R²最小.从而圆的面积最小,此时直线AB的方程为x=2p.

解法三: 同解法一得O在圆H的圆周上,

又直径|AB|=

=

=

≥ =4p.

上式当x_A=x_B时,等号成立,

直径|AB|最小,从而圆面积最小.