题目内容
20．已知函数f（x）=x2+x-1，g（x）=x3-ax（a＜0），若对?x1∈[1，2]，?x2∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．分析 由于对?x1∈[1，2]，?x2∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x2）成立，等价于$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x2）的最大值，即3≤8-2a，从而求解．
解答 解：∵函数f（x）=x2+x-1，
∴对?x1∈[1，2]，$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$=x1+1≤3，
∵g（x）=x3-ax（a＜0），
∴g（x）单调递增
∴g（x2）＞8-2a，
由于对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$≤g（x2）成立，等价于∈[2，3]，使得$\frac{f（{x}_{1}）+1}{{x}_{1}}$的最大值不大于g（x2）的最大值，即3≤27-3a，
∴a≤8
故a的取值范围是（-∞，8]
点评 本题考查函数的恒成立问题，转化为最值比较大小．
练习册系列答案
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10．f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx+|sinx-cosx|）的值域是（ ）
| A． | [-1，1] | B． | [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$] | C． | [-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1] | D． | [-1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$] |