题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求证：S_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）依题意可知a_n+1=f（a_n）= $\text{[math]}$ ；
由于a₁=1不为0，所以a_n+1=f（a_n）都不为0，
上式两边同取倒数得到：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ ；即： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3
∴{ $\text{[math]}$ }为等差数列首项为1，公差为3
∴ $\text{[math]}$ =1+（n-1）×3=3n-2
∴a_n= $\text{[math]}$
（2）证明：由（1）可知a_n= $\text{[math]}$
∴a_na_n+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$
原式得证．
分析：（1）根据函数的解析式把a_n代入求得数列的递推式，两边取倒数整理可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3进而判断出{ $\text{[math]}$ }为等差数列首项为1，公差为3，进而根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入S_n进而利用裂项法求得数列的和，进而根据 $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ 证明原式．
点评：本题主要考查了数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列的求和问题．考查了学生综合运用所学知识的能力．