Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

），x∈R
（I）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（II）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的正弦余弦函数化简函数的表达式，再利用二倍角公式，化简为sin（2x-

π

6

），结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调递增区间，以及对称轴方程；
（II）根据x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

的范围，求出sin（2x-

π

6

）的最值即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）．
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin（2x-

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，∴单调递增区间为：[kπ-

π

6

kπ+

π

3

]，k∈Z
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，因为f（x）=sin（2x-

π

6

）
在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增．在区间[

π

3

，

π

2

]单调递减，所以当x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

所以函数f（x）在区间上的值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题是基础题，考查三角函数式的化简求值，三角函数的基本性质，掌握三角函数的基本性质，是解好三角函数问题的关键．