题目内容

已知函数f(t)=
1-t
1+t
，g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx)，x∈(π，
17π
12
).
（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数g（x）的值域．
（Ⅰ）g(x)=cosx•
1-sinx
1+sinx
+sinx•
1-cosx
1+cosx

=cosx•
(1-sinx)2
cos2x
+sinx•
(1-cosx)2
sin2x

∵x∈(π，
17π
12
]，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx，
∴g(x)=cosx•
1-sinx
-cosx
+sinx•
1-cosx
-sinx

=sinx+cosx-2
=
2
sin(x+
π
4
)-2.
（Ⅱ）由π＜x≤
17π
12
，得
5π
4
＜x+
π
4
≤
5π
3
.
∵sint在(
5π
4
，
3π
2
]上为减函数，在(
3π
2
，
5π
3
]上为增函数，
又sin
5π
3
＜sin
5π
4
，∴sin
3π
2
≤sin(x+
π
4
)＜sin
5π
4
（当x∈(π，
17π
2
]），
即-1≤sin(x+
π
4
)＜-
2
2
，∴-
2
-2≤
2
sin(x+
π
4
)-2＜-3，
故g（x）的值域为[-
2
-2，-3).
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已知函数f(t)=
1-t
1+t
，g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx)，x∈(π，
17π
12
).
（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数g（x）的值域．
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）若函数在区间(t，t+
1
2
)（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f(x)≥
a
x+1
恒成立，求实数a的取值范围，并且判断代数式[（n+1）!]2与（n+1）•en-2（n∈N*）的大小．
（2009•黄冈模拟）已知函数f(x)=
1-x2
1+x+x2
(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(
λa+μb
λ+μ
)2]-f(
λa2+μb2
λ+μ
)≥(
λa+μb
λ+μ
)2-
λa2+μb2
λ+μ
．
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．如果对于函数f（x）的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数f（x）的上确界．已知函数f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x，g(x)=
1-m•2x
1+m•2x
．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上确界T（m）．

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