Question

已知a＞0，且a≠1，f（x）=x²-a^x，当x∈（-1，1）时均有f（x）＜

1

2

，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，f(x)＜

1

2

得：x2-ax＜

1

2

，变形为：x2- 

1

2

＜ax构造函数，由函数图象与性质可以得出结论．

解答：解：（1）由f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，f(x)＜

1

2

得：变形为：x2-

1

2

＜ax，构造函数：g(x)=x2-

1

2

，h(x) = ax，其中x∈(-1，1)，a＞0，且a≠1
（2）由函数图象知，当x∈（-1，1）时，
g（x）的图象在h（x）的图象下方．
如图：①当a＞1时，有h（-1）≥g（-1），
即a-1≥(-1)2-

1

2

，得a≤2，即1＜a≤2；
②当1＞a＞0时，有h(1)≥g(1)，即a≥12-

1

2

，得a≥

1

2

.即

1

2

≤ a＜1.
有①、②知：实数a的取值范围是[

1

2

，1）∪（1，2]．
答案为[

1

2

，1）∪（1，2]．

点评：本题借助二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，考查函数的恒成立问题．合理构造函数，用数形结合的方法容易解答．