Question

已知函数f（x）=4

3

sin²（x+

π

4

）+4sin（x+

π

3

）sin（x-

π

3

）-2

3

．
（I）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，求sin（2x₀-

π

3

）．

Answer 1

（I）∵f（x）=4

3

sin²（x+

π

4

）+4sin（x+

π

3

）sin（x-

π

3

）-2

3

．
=2

3

[1-cos（2x+

π

2

）]+4（

1

2

sinx+

3

2

cosx）（

1

2

sinx-

3

2

cosx）-2

3

=2

3

+2

3

sin2x+sin²x-3cos²x-2

3

=2

3

sin2x-2cos2x-1
=4sin（2x-

π

6

）-1…4分
∴x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-3≤f（x）≤3，
∴函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域为[-3，3]…8分
（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，
∴f（x₀）是f（x）的最大值，
因此2x₀-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴2x₀=2kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴sin（2x₀-

π

3

）=sin（2kπ+

2π

3

-

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

…12分