Question

已知函数f(x)=

1-2x

1+2x

，x∈R．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定义进行判断．（2）利用函数的单调性和奇偶性的关系求值域．

解答：解：（1）函数f（x）为R上的奇函数．…（2分）
证明：显然，函数f（x）的定义域为R，…（3分）
因为f(-x)=

1-2-x

1+2-x

=

2x-1

1+2x

=-f(x)，
所以，函数f（x）为R上的奇函数．…（5分）
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

 …（2分）
因为2^x＞0，故1+2^x＞1，0＜

2

1+2x

＜2，所以-1＜-1+

2

1+2x

＜1，
即-1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（-1，1）．…（5分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的定义的判断，以及求函数的值域问题，比较综合．