Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁=1，且S₂₀₁₁，S₂₀₁₀，S₂₀₁₂依次成等差数列，则a_n=

（-2）^n-1

．

Answer 1

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，可得q≠1，由等比数列等求和公式和等差中项可得q的方程，解方程可得．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，则a₁=S₁=1，
若q=1，显然S₂₀₁₁=2011，S₂₀₁₀=2010，S₂₀₁₂=2012不成等差数列；
若q≠1，由等比数列等求和公式可得：
2

1×(1-q2010)

1-q

=

1×(1-q2011)

1-q

+

1×(1-q2012)

1-q

，
化简可得q²+q-2=0，
解得q=-2，或q=1（舍去）
综上可得等比数列{a_n}的公比q=-2，
∴a_n=1×（-2）^n-1=×（-2）^n-1
故答案为：（-2）^n-1

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．