Question

已知函数f（x）=cos（x-

2π

3

）-mcosx（x∈R）的图象经过点P（0，-

3

2

）
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f（B）=-

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）通过函数的图象经过点P（0，-

3

2

），求出m的值，利用两角差的正弦函数，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）法一：通过f（B）=-

3

2

，求出B=

π

6

，利用b=1，c=

3

，通过余弦定理求出b²+c²=a²，判断△ABC的形状．
法二：通过f（B）=-

3

2

，求出B=

π

6

，利用b=1，c=

3

，通过余正弦定理求出A=90°，判断△ABC的形状．

解答：解：（Ⅰ）∵f(0)=-

1

2

-m=-

3

2

，∴m=1．…（2分）

∴f(x)=cos(x- 2π 3 )-cosx= 3 2 sinx- 3 2 cosx= 3 ( 1 2 sinx- 3 2 cosx) = 3 sin(x- π 3 )…(5分)

．
故函数f（x）的最小正周期为2π．…（6分）
（Ⅱ）解法一：f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．…（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1（不合题意，舍）或a=2．…（11分）
又b²+c²=1+3=4=a²，所以△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．…（7分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

1

sin π 6

=

3

sinC

，∴sinC=

3

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

或

2π

3

．
当C=

π

3

时，A=

π

2

；当C=

2π

3

时，A=

π

6

．（不合题意，舍）…（9分）
所以△ABC为直角三角形．…（10分）

点评：本题是中档题，考查函数的解析式的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．