题目内容
已知f（x）=ax2+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-
．求证：a≠0且|
|＜2．
| 5 |
| 2 |
| b |
| a |
分析：先反设，再分情况进行讨论，即可证明．
解答：证明：由a+c=0，可得c=-a，故f（x）=ax2+bx+（-a）．
假设a=0或|
|≥2．
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上单调，
因此f（x）最大值为|b|，最小值为-|b|．
∴
，矛盾表明a≠0；
（2）由|
|≥2得|-
|≥1且a≠0．
∴区间[-1，1]位于抛物线f（x）=ax2+bx-a的对称轴x=-
的左侧或右侧．
因此，f（x）在[-1，1]上单调，其最大值为|b|，最小值为-|b|，这是不可能的．
由此可知假设不成立，原命题成立，即a≠0且|
|＜2．
综上，a≠0且|
|＜2．
假设a=0或|
| b |
| a |
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上单调，
因此f（x）最大值为|b|，最小值为-|b|．
∴
|
（2）由|
| b |
| a |
| b |
| 2a |
∴区间[-1，1]位于抛物线f（x）=ax2+bx-a的对称轴x=-
| b |
| 2a |
因此，f（x）在[-1，1]上单调，其最大值为|b|，最小值为-|b|，这是不可能的．
由此可知假设不成立，原命题成立，即a≠0且|
| b |
| a |
综上，a≠0且|
| b |
| a |
点评：本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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