Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线C交于A，B两点．若△ABF₁为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  13

• B．

  7

• C．

  5

• D．

  2

Answer 1

分析：如图所示，|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₁|-|AF₂|=2a，又|AB|=|AF₁|=|BF₁|，可得|BF₂|-|AF₂|=4a=|AB|．于是|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．在△BF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1| |BF2|cos60°，代入化简即可得出．

解答：解：如图所示，|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₁|-|AF₂|=2a，∵△ABF₁为等边三角形，∴|AB|=|AF₁|=|BF₁|，∴|BF₂|-|AF₂|=4a=|AB|．
∴|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1| |BF2|cos60°，
∴(2c)2=(4a)2+(6a)2-2×4a×6a×

1

2

，化为c²=7a²．
∴e=

c

a

=

7

．
故选B．

点评：本题考查了双曲线的定义、余弦定理、等边三角形的性质、离心率的计算公式等基础知识与基本技能，属于中档题．