Question

已知函数f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用导数即可求出其单调区间；
（2）通过对x讨论，再利用（1）的结论即可；
（3）通过分离参数，通过换元求导，再利用（1）的结论即可得出．

解答：解：（1）f(x)=2lnx+

1-x2

x

，定义域{x|x＞0}．
∵f′(x)=

2

x

+

-2x×x-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|当x≥1时，原不等式变为2lnx≤(1+

1

x

)•(x-1)=

x2-1

x

…①
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≤0即①成立
当0＜x≤1时，原不等式变为-2lnx≤(1+

1

x

)•(1-x)，
即2lnx≥

x2-1

x

②
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≥0即②成立
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
（3）结论：a的最大值为

1

ln2

-1．
证明：∵n∈N^*，
∴ln(1+

1

n

)＞0，
∵(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，
∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，取x=

1

n

，则x∈（0，1]，
∴a≤

1

ln(1+x)

-

1

x

，
设g(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，
则g′(x)=

ln2(x+1)- x2 x+1

x2ln2(1+x)

≤0，∴g（x）在x∈（0，1]上单调递减，
∴当x=1时，g最小=g(1)=

1

ln2

-1．
∴a的最大值为

1

ln2

-1．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分离参数法和换元法是解题的关键．