Question

等比数列{a_n}的公比为q，其前n项积为T_n，并且满足条件a1＞1，a99a100＞1，

a99-1

a100-1

＜0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a₉₉a₁₀₁-1＜0；③T₁₀₀的值是T_n中最大的；④使T_n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是

 

．

Answer 1

分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确；
利用等比数列的性质判断出③错误；利用等比数列的性质判断出④正确

解答：解：①中（a₉₉-1）（a₁₀₀-1）＜0，a₁＞1，a₉₉a₁₀₀＞1，
?a₉₉＞1，0＜a₁₀₀＜1?q=

a100

a99

∈（0，1），∴①正确．
②中a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜a₁₀₀＜1?a₉₉a₁₀₁＜1，∴②正确．
③中T₁₀₀=T₉₉•a₁₀₀，0＜a₁₀₀＜1?T₁₀₀＜T₉₉，∴③错误．
④中T₁₉₈=a₁•a₂…a₁₉₈=（a₁•a₁₉₈）（a₂•a₁₉₇）…（a₉₉•a₁₀₀）=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1，
T₁₉₉=a₁•a₂…a₁₉₉=（a₁•a₁₉₉）（a₂•a₁₉₈）…（a₉₉•a₁₀₁）a₁₀₀＜1，∴④正确．
答案：①②④

点评：在解决等比数列的项与项的关系时，常利用等比数列的性质：若m+n=p+q则有a_m•a_n=a_p•a_q．