Question

【题目】已知函数（）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若， ，对任意， ， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，函数的单调递减函数为（2）

【解析】试题分析：（1）求导得，写出单调区间；（2）令，“对任意， ， 恒成立”等价于“当时，对任意， ， 成立”， ，对进行分类讨论，最后求得答案。

试题解析：

（1）函数的定义域为．

当时， ， ．

所以当时， ，函数的单调递增区间为；

当， ，函数的单调递减函数为．

（2）令，“对任意， ， 恒成立”等价于“当时，对任意， ， 成立”．

由于，

当时， 有，从而函数在上单调递增，

所以当时， ．

因为，所以．

当时， ，若，则，显然不满足；

当时，令，得， ．

（i）当，即时， 对成立，所以在单调递增，所以，所以只需使，得，所以；

（ii）当，即时， 对成立， 单调递增；当时， ， 单调递减，所以，所以只需使，得或，

又因为，所以；

（iii）当，即时， 对成立， 单调递增，

， 不成立，

综上， 的取值范围是．