Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=3，E、F分别在侧棱BB₁、DD₁上，且BE=1，D₁F=1．
（1）求证：A、E、C₁、F四点共面；
（2）求平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）由ABC₁D₁，BED₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F=，知△ABE≌△C₁D₁F，由此能够证明A、E、C₁、F四点共面．
（2）延长C₁E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得EB⊥平面ABCD，故EH⊥AG，所以∠EHB是所求的二面角的平面角，由此能求出平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．
（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），由此能证明A、E、C₁、F四点共面．
（2）设面EC₁FA的一个法向量为=（x，y，z），，由，得，又面ABCD的一个法向量为，由向量法能够求出平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．
解答：（法一）（1）证：∵ABC₁D₁，BED₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F=，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴，∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）延长C₁E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，
由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得EB⊥平面ABCD，∴EH⊥AG，
∴∠EHB是所求的二面角的平面角，…（9分）
由△GBE∽△GCC₁得=，∴GB=，在Rt△ABG中，
AG=，BH==，
∴tan∠EHB==，…（11分）
所以平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan．…（12分）
（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），…（2分）
∴，，
∴C₁F∥EA，∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）设面EC₁FA的一个法向量为=（x，y，z），∵，
由，得，
又面ABCD的一个法向量为，…（9分）
∴cos＜＞===，…（11分）
所以平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos．（12分）
点评：本题考查四点共面的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何为平面几何进行求解，解题时要注意向量法的合理运用．