Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

2

2

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+

2

相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|

.

F2M

+

.

F2N

|=

2 26

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意：由离心率和点到直线的距离公式建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），先验证直线l的斜率不存在的情况，当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂，用坐标表示出方程，解得k即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）因为以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+

2

相切，
所以圆心到直线的距离：

|0-0+ 2 |

12+(-1)2

=b，解得b=1，又离心率e=

2

2

=

c

a

，
平方可得：

c2

a2

=

1

2

，即

a2-1

a2

=

1

2

，解得a²=2，
故所求椭圆的标准方程为：

x2

2

+y2=1
（2）由（1）可知：F₁（-1，0），F₂（1，0），
若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=±

2

2

，
不妨设M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

）+（-2，-

2

2

）=（-4，0）
∴|

.

F2M

+

.

F2N

|=4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．
设其方程为：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，消y并整理得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
显然有△＞0，由韦达定理可得x₁+x₂=-

4k2

2k2+1

，x₁+x₂-2=

-8k2-2

2k2+1

，
所以y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂+2）=

2k

2k2+1

，
又因为|

.

F2M

+

.

F2N

|=

2 26

3

，所以(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=

4×26

9

，
即(

-8k2-2

2k2+1

)2+(

2k

2k2+1

)2=

4×26

9

，即40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1，（负值舍去）∴k=±1
∴所求直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．

点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系以及量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解的整体思想，属中档题．