Question

已知

i

，

j

为互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=-

i

+λ

j

，且

a

与

b

的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是

(-

1

2

，2)∪(2，+∞)

．

Answer 1

分析：由题意可得：

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0，由

a

与

b

的夹角为钝角可得

a • b ＜0 b ≠μ a

，再代入向量解不等式即可得到答案．

解答：解：由题意可得：

i

和

j

是两个互相垂直的单位向量，
所以 

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0．
又因为

a

=

i

-2

j

，

b

=-

i

+λ

j

，

a

与

b

的夹角为钝角，
所以

a • b ＜0 b ≠μ a

，
所以 

a

•

b

=(

i

-2

j

)•(-

i

+λ

j

)=-1-2λ＜0，并且λ≠2
所以λ＞-

1

2

，并且λ≠2，
所以实数λ的取值范围是 (-

1

2

，2)∪(2，+∞)．
故答案为：(-

1

2

，2)∪(2，+∞)．

点评：本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当

a

与

b

的夹角为钝角时，可得

a

•

b

＜0即可得到关于λ的不等式，但是学生容易忽略两个向量共线并且反向的情况；当

a

与

b

的夹角为锐角时，可得

a

•

b

＞0即可得到关于λ的不等式，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况．