Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*，有n，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）记数列b_n=a_n+1（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为T_n，求满足

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

＜

1

7

的所有n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）得出数列的通项和前n项和之间的关系确定出数列相邻项之间的关系是解决本题的关键，然后利用整体思想和等比数列的定义证明出数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）根据数列{a_n}的通项公式选择合适的方法求出数列{a_n}的前n项和为T_n是解决本题的关键，对所解决的不等式进行转化化简进而确定出满足题意的所有n的值．

解答：解：
（Ⅰ）证明：S_n=2a_n-n，S_n+1=2a_n+1-（n+1）?a_n+1=2a_n+1-2a_n-1?a_n+1=2a_n+1，

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=

2an+2

an+1

=2；
又由S₁=a₁=2a₁-1?a₁=1
所以数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：b_n=a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1，
可以得出T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
从而

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

=(

1

2

)n＜

1

7

所以n的值为3，4．

点评：本题考查数列的通项和前n项和之间的关系，考查等比数列的判定方法，考查整体思想的运用，分析问题解决问题的方法，考查学生的转化与化归能力，属于数列中的基本题型．