Question

设函数f(x)=x²+aln(1+x)有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，
(Ⅰ)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)证明：。

Answer 1

(Ⅰ)解：由题设知，函数f(x)的定义域是x＞-1，，
且f′(x)=0有两个不同的根x₁、x₂，
故2x²+2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即，
且，
又x₁＞-1，故a＞0，
因此a的取值范围是，
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

因此f(x)在区间（-1，x₁）和(x₂，+∞)内是增函数，在区间(x₁，x₂)是减函数。
(Ⅱ)证明：由题设和(Ⅰ)知，
于是，
设函数g(t)=t²-2t(1+t)ln(1+t)，
则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t)，
当时，g′(t)=0；当时，g′(t)＞0；
故g(t)在区间内是增函数，
于是，当时，，
因此。