Question

求关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

Answer 1

思路分析：求充要条件一般从必要性入手找条件，即从已知方程ax²+2x+1=0至少有一个负实根入手，

    此题是二次方程根的分布讨论问题.

解：（1）a=0时适合.

（2）当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a＜0；若方程有两个负的实根,则必须满足解得0＜a≤1.

    综上,若方程至少有一个负的实根,则a≤1；反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.

方法归纳 ①a=0的情况不要忽视;②若令f（x）=ax²+2x+1,由于f（0）=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.

变式方法 本题还可从问题的反面考虑，即方程无负根的a的取值范围，然后求其补集.