Question

如图，直线D经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC，CD．若tanE=，⊙O上的半径为3，则OA的长为    ．

Answer 1

【答案】分析：先证证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；再由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．
解答：解：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
又∵BE是圆O割线，
∴BC²=BD•BE，
∵tan∠CED=，
∴=，
∵△BCD∽△BEC，
∴==，
设BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5
故答案为：5
点评：本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．