题目内容

已知函数f(x)=
x
．
（1）求函数的定义域；                 
（2）判断函数的单调性并加以证明．
分析：（1）要使f（x）有意义，只需满足x≥0；
（2）任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，利用作差可判断f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性的定义可作出判断；
解答：解：（1）要使f（x）有意义，须满足x≥0，
故函数f（x）的定义域为[0，+∞）；
（2）f（x）在定义域内单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
x1
-
x2
=
(
x1
+
x2
)(
x1
-
x2
)
x1
+
x2
=
x1-x2
x1
+
x2
，
∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
x1
+
x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在定义域内单调递增；
点评：本题考查函数定义域的求解、单调性的判断，属基础题，定义是证明函数单调性的基本方法，要熟练掌握．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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