Question

已知实数x、y满足x²+y²=2x，求x²y²的取值范围.

Answer 1

提示：由x²+y²=2x,得y²=2x-x²≥0,∴0≤x≤2,x²y²=x²（2x-x²）=2x³-x⁴.

设f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），则f′（x）=6x²-4x³=2x²（3-2x）,当0＜x＜时,f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增；当＜x＜2时,f′（x）＜0,函数f（x）在（，2）上单调递减.∴当x=时，函数取得极大值，也是最大值f（）=,当x=0、x=2时，f（x）=0,∴函数f（x）的值域为［0,］,即0≤x²y²≤.