题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若
PQ
=2
F1O
，
F1Q
=λ(
F1P
|
F1P
|
+
F1O
|
F1O
|
)(λ＞0)则椭圆的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
3
2
C、
5
-1
2
D、
5
+1
4
分析：由题设条件及
PQ
=2
F1O
，可知PQ平行于x轴，且Q点的横坐标为
a2
c
-2c，又
F1Q
=λ(
F1P
|
F1P
|
+
F1O
|
F1O
|
)(λ＞0)知Q点在∠PF1O角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e
解答：精英家教网解：∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，
PQ
=2
F1O
，
∴PQ平行于x轴，且Q点的横坐标为
a2
c
-2c，
又
F1Q
=λ(
F1P
|
F1P
|
+
F1O
|
F1O
|
)(λ＞0)知Q点在∠PF1O角平分线上，如图△PF1Q是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知
2a-2c
2c
=
c
a
，解得e=
5
-1
2
．
故选C．
点评：本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率．
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相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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