题目内容

已知函数 $数学公式$ ；
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x²-2x，是否存在实数a，对?x₁∈（0，2]，?x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行
∴f′（1）=f′（3）
∴ $\text{[math]}$
（2）函数的定义域为（0，+∞）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
当 $\text{[math]}$ 时，单调减区间为（2， $\text{[math]}$ ），单调增区间为（0，2），（ $\text{[math]}$ ，+∞）；
当 $\text{[math]}$ 时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0或 $\text{[math]}$ 时，单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ），（2，+∞）；单调减区间为（ $\text{[math]}$ ，2）；
（3）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
当a≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）在（0，2]单调递增，此时f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，
∴-2a-2+2ln2＜0
∴ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上递增，在（ $\text{[math]}$ ，2）上单调递减；
∴f（x）_max=f（ $\text{[math]}$ ）=-2- $\text{[math]}$ -2lna，则-2- $\text{[math]}$ -2lna＜0恒成立
即只需 $\text{[math]}$ 即可（∵ $\text{[math]}$ ，∴-2-2lna＜0）
综上可知，存在实数a满足条件，a的范围（ln2-1，+∞）
分析：（1）先求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，可求a的值；
（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（3）由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（2）求出的f（x）的单调区间，即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
点评：本题考查的重点是导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．有一定的难度．