Question

已知几何体A―BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴．

即该几何体的体积V为16．      -----------3分

（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分

在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．

∴．

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．------------------------------------------7分

解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分

取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.

连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵    ∴∽    ∴

∵  ∴   ∴．-----------------10分

∵,

∴

∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q

∴

∵面,面  ∴ ∴面 

∵面ACQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

∴．-------------------------------------------------------------------------12分

解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则

，

∵AQBQ    ∴ ----------------------------①

 ∵点Q在ED上，∴存在使得

∴-----------②

②代入①得，解得

∴满足题设的点Q存在，其坐标为