Question

设数列满足，令.

⑴试判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式；

⑵令，是否存在实数，使得不等式对一切

都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

    ⑶比较与的大小．

Answer 1

解析： ⑴由已知得,

即,                              …………2分

所以,即,                     

又,所以数列为等差数列，通项公式为.    …………6分

(2)令，由，得

 

所以，数列为单调递减数列，                                 …………8分

所以数列的最大项为，

若不等式对一切都成立，只需，解得，

又，所以的取值范围为．              …………12分

（3）问题可转化为比较与的大小．设函数，所以．

当时，；当时，．所以在上为增函数；

在上为减函数．

当时，显然有，

当时，，即，所以，

即所以．

综上：当时，，即；

当时，即．                …………16分