Question

21、如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE²=EF•EC；
（1）求证：∠P=∠EDF；
（2）求证：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

分析：（1）根据所给的乘积式和乘积式所用的线段的夹角相等，得到两个三角形相似，由三角形相似得到对应角相等，根据两条直线平行，得到内错角相等，根据等量代换得到结果．
（2）根据第一问做出的结果，和对顶角相等得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应边成比例，直接把比例式转化为乘积式，再根据圆的两条相交弦定理，得到乘积式，等量代换得到结果．

解答：证明：（1）∵DE²=EF•EC，
∴△EDF～△ECD，
∴∠EDF=∠C，
∵CD∥AP
∴∠C=∠P，
∴∠P=∠EDF
（2）∵∠P=∠EDF；
∠DEF=∠AEP，
∴△EDF～△EPA
∴EF•EP=DE•AE
AD，CB是圆的两条相交弦，
∴DE•AE=CE•BE
∴CE•EB=EF•EP．

点评：本题考查三角形相似的判定和性质，考查两条直线平行的性质，考查相交弦定理，考查等量代换，是一个比较简单的综合题目．