Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．
（i）若AF₁-BF₂=求直线AF₁的斜率；
（ii）求证：PF₁+PF₂是定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．
（2）（i）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，根据已知条件AF₁-BF₂=，用待定系数法求解；
（ii）利用直线AF₁与直线BF₂平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF₁+PF₂是定值．
解答：（1）解：由题设知a²=b²+c²，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c²=a²-1．
由点（e，）在椭圆上，得
∴，∴a²=2
∴椭圆的方程为．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）-2my₁-1=0．
∴，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=，∴，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直线AF₁的斜率为．
（ii）证明：∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴，即．
 由点B在椭圆上知，，∴．
 同理．
∴PF₁+PF₂==
 由①②得，，，
∴PF₁+PF₂=．
∴PF₁+PF₂是定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．