Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx．
（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x₂x₃=6，f(-1)=

5

6

，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′(1)=-

1

2

a，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于

3

，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，因为x₂，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，使用根与系数的关系，再由f(1)=

5

6

，求出b、a、c 的值，得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出减区间．
（Ⅱ） 求出f′(1)=-

1

2

a，f'（0）=c，f'（2）=a-c，当c＞0时 f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，当c≤0时，f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，由|m-n|≥

3

，及 3a＞2c＞2b，a＞0 求出

b

a

的取值范围．

解答：解：（I）因为f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x2x3=6，则x1=0，x2+x3=

9

2

，x2x3=6．
因为x₂，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，则-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=6．即b=-3a，c=2a．
又f(1)=

5

6

，即

1

3

a+

1

2

b+c=

5

6

，所以，

1

3

a-

3

2

a+2a=

5

6

，即a=1，从而b=-3，c=2．
所以，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x．  因为f'（x）=x²-3x+2，由x²-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的单调递减区间是（1，2），单调递增区间是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
（2）当c≤0时，因为f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．
所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，则(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．
所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 -3a＜b＜-

3

4

a．
因为a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．
综上分析，

b

a

的取值范围是[-1，-

3

4

)．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，函数的零点的判断，二次函数的性质与不等式性质的应用．