Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²=a²+c²-ac，b=1．
（1）若tanA-tanC=

3

3

(1+tanAtanC)，求c；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件求出cosB，解得B，通过tanA-tanC=

3

3

(1+tanAtanC)，求出A，C，利用正弦定理求c；
（2）通过已知条件以及a=2c，求出B，判断三角形的形状，然后求△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由已知b²=a²+c²-ac，可知cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，解得B=

π

3

；tanA-tanC=

3

3

(1+tanAtanC)
tan（A-C）=

3

3

，-

2π

3

＜A-C＜

2π

3

，
∴A-C=

π

6

，且A+B+C=π，A=

5π

12

，C=

π

4

，
由

c

sinC

=

b

sinB

，即

c

sin π 4

=

1

sin π 3

，解得c=

6

3

．
（Ⅱ）因为b²=a²+c²-2accosB，又a=2c，B=

π

3

，
所以b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，解得b=

3

c．
因此得a²=b²+c²．故三角形ABC是直角三角形，
A=

π

2

，c=

1

3

．
其面积S=

1

2

bc=

3

6

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和的正弦函数的应用三角形面积公式的应用，考查计算能力．