Question

P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的点，F₁、F₂是其焦点，且

PF1

•

PF2

=0，若△F₁PF₂的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  7

  4

• B．

  5

  4

• C．

  5

  2

• D．

  7

  2

Answer 1

分析：设|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，由△F₁PF₂的面积是9算出mn=18，结合勾股定理得到m²+n²=（m-n）²+36=4c²，再用双曲线定义可得b²=9，从而得到b=3，进而得到a=7-3=4，利用平方关系算出c=5，最后可得该双曲线离心率的值．

解答：解：设|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，由题意得
∵

PF1

•

PF2

=0，且△F₁PF₂的面积是9，∴

1

2

mn=9，得mn=18
∵Rt△PF₁F₂中，根据勾股定理得m²+n²=4c²
∴（m-n）²=m²+n²-2mn=4c²-36，
结合双曲线定义，得（m-n）²=4a²，
∴4c²-36=4a²，化简整理得c²-a²=9，即b²=9
可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c=

a2+b2

=5
∴该双曲线的离心率为e=

c

a

=

5

4

故选：B

点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了向量的数量积性质、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．解题时请注意整体代换与配方思想的运用．