题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知△ABC的周长为6，且a，b，c成等比数列，则△ABC面积的最大值是

A.
$数学公式$
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据等差数列的性质得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，并利用基本不等式求出cosB≥ $\text{[math]}$ ，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b= $\text{[math]}$ 及基本不等式列出关于b的不等式，
求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b²=ac，得到关于b的一元二次不等式，进一步确定b的范围，再由S= $\text{[math]}$ ac•sinB
= $\text{[math]}$ b²•sinB，得到S的最大值．
解答：依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，c²
由余弦定理得：cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴0＜B≤ $\text{[math]}$ ，
又b= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而0＜b≤2，∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜b≤2，
∴S= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ b²•sinB≤ $\text{[math]}$ •2²•sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则S的最大值为 $\text{[math]}$ ，
故选C．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及二次函数最值的求法，其中根据余弦定理，等比数列的性质及不等式的解法得出B及b的范围是解本题的关键，属于中档题．