Question

已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：可令n=1，2，3，求得b₁，b₂，b₃，由此猜想b_n，
解法一：设S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ通过倒序相加法得到结论；
解法二：构造函数f（x）=（1+x）ⁿ，（n∈N^*），由二项式定理展开，用导数法解决；
解三法：用数学归纳解法证明结论．．

解答：解：令n=1，2，3，有

1×20=b1 2×21=b1 C 1 2 +b2 C 2 2 3×22=b1 C 1 3 +b2 C 2 3 +b3 C 3 3

，
即

b1=1 2b1+b2=4 3b1+3b2+b3=12

，
解得  b₁=1，b₂=2，b₃=3．由此猜想：b_n=n（n∈N^*）．（4分）
下面证明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
解法一：设S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
有  S_n=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
又S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+0•C_n⁰--------------8分
两式相加2S_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ--------------10分
故S_n=n•2^n-1，n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ--------------12分
解法二：构造函数f（x）=（1+x）ⁿ，（n∈N^*），由二项式定理知：
      f（x）=（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ--------------8分
     f′（x）=n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1--------------10分
     令x=1，即得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+nC_nⁿ--------------12分
解法三：（1）n=1，成立．-----------------5分
        （2）假设n=k时等式成立，即C_k¹+2C_k²+3C_k³+…+kC_k^k=k•2^{k-1
当n=k+1时，
C_k+11+2C_k+12+…+kC_k+1k+（k+1）C_k+1k+1
=（C_k0+C_k1）+2（C_K1+C_K2）+…+k（C_kk-1+C_kk）+（k+1）----------8分
=（C_k0+2C_k1+3C_k2+…+kC_kk-1）+（C_k1+2C_k2+…+3C_k3+kC_kk）+k+1
=（C_k0+C_k1+C_k2+…+C_kk-1）+[C_k1+2C_k2+…+（k-1）C_kk-1]+k•2k-1+k+1
=（2k-1）+[C_k1+2C_k2+…+（k-1）C_kk-1+kC_kk]+k•2k-1+1} 
=2^k-1+k•2^k-1+k•2^k-1+1---（10分）
=（k+1）•2^k
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，存在b_n=n，
使得C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1对一切n∈N^*成立．12分）

点评：本题考查数学归纳法证明等式，难点在于对组合数性质的转化与应用，属于难题．