Question

已知函数f（x）=2^x+a×2^-x+1，x∈R．
（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）
（2）若a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）通过a=0，化简函数的表达式，直接画出此时函数的图象；（不列表）
（2）利用a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调增函数，利用函数的单调性的定义直接证明即可．

解答：解：（1）函数f（x）=2^x+a×2^-x+1，x∈R．a=0时，函数化为：f（x）=2^x+1，
函数图象如图：
（2）当a＜0时，函数f（x）在定义域内的是增函数，证明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

a

2x1

+1-（2x2+

a

2x2

+1）
=2x1-2x2+

a

2x1

-

a

2x2

=(2x1-2x2)(1-

a

2x1+x2

)
=(2x1-2x2)(

2x 1+x2-a

2x1+x2

)
∵y=2x是增函数，∴2x1＜2x2，
∵2x1+x2＞0，a＜0，
∴2x1+x2-a＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在定义域内的是增函数．

点评：本题考查函数的单调性的判断，函数的图象的画法，考查计算能力与作图能力．