Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线与直线相切，求实数的值；

（2）记，求在上的最大值；

（3）当时，试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时， ；当时， ；（3）.

【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．

试题解析：（1）设曲线与相切于点，

由，知，解得，

又可求得点为，所以代入，得.

（2）因为，所以.

①当，即时， ，此时在上单调递增，

所以；

②当即，当时， 单调递减，

当时， 单调递增， .

（i）当，即时， ；

（ii）当，即时， ；

③当，即时， ，此时在上单调递减，

所以.

综上，当时， ；

当时， .

（3）当时， ，

①当时，显然；

②当时， ，

记函数，

则，可知在上单调递增，又由知， 在上有唯一实根，且，则，即（*），

当时， 单调递减；当时， 单调递增，

所以，

结合（*）式，知，

所以，

则，即，所以.

综上， .