Question

抛物线y=x²（-2≤x≤2）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的表面积是（　　）

• A、96-48

  3

• B、32
• C、24
• D、144-48

  5

Answer 1

分析：由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设正方体的棱长a，然后根据A点的纵坐标等于4-a，利用抛物线方程与正方体的性质建立关于a的等式，解出a=2，即可得到此正方体的表面积．

解答：解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，
设正方体AC₁的棱长AA₁=a，则底面对角线AC=

2

a，
∴A点的横坐标等于

2

2

a，
结合抛物线方程可得A点纵坐标：y=(

2

2

a)2=

1

2

a2，
根据题意可知A点纵坐标为4-a．
∴

1

2

a2=4-a，解得a=2，
因此正方体的棱长是2，表面积S=6×2²=24．
故选：C

点评：本题着重考查了正方体的性质、抛物线的应用等知识，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．