Question

下列四个命题中，真命题的序号有    （写出所有真命题的序号）．
①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
②圆x²+y²+4x+2y+1=0与直线y=x相交，所得弦长为2．
③若sin（α+β）=，sin（α-β）=，则tanαcotβ=5．
④如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．

Answer 1

【答案】分析：①利用面面垂直的性质判断．②利用直线和圆的位置关系判断．③利用两角和差的正弦公式求值．④利用抛物线的定义判断．
解答：解：①根据面面垂直的性质可知，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线，所以①正确．
②圆的标准方程为（x+2）²+（y+1）²=4，圆心坐标为（-2，-1），半径为2．
因为圆心在直线y=x，所以直线与圆相交，相应的弦长为直径4，所以②错误．
③由sin（α+β）=，sin（α-β）=，得，
解得，所以两式相除得tanαcotβ=5，所以③正确．
④连结PC，则PC是点P到直线CC₁的距离，过P作PE垂直于直线AD，则PE到平面AA₁D₁D的距离为PE，
因为P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，所以PC=PE，满足抛物线的定义，
 所以P点的轨迹是抛物线的一部分，所以④正确．
故正确的命题为①、③、④．
故答案为：①、③、④．
点评：本题主要考查命题的真假判断，牵扯的知识点较多，综合性较强．